[2017년 저동고]

--

[2학년 1학기 중간 미적분1]

[eqn: lim_x->inf {2cdot3^n+1 -2^n+1}over{3^n +2^n]의 값은? [3.5점]

⑤

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 2]

④ [eqn: 3]	⑤ [eqn: 6]

닫힌구간 [eqn: [-1,```2]]에서 함수 [eqn: f(x)=2x^2 -4x+5]의 최댓값과 최솟값의 합은? [3.7점]

④

① [eqn: 5]	② [eqn: 8]	③ [eqn: 11]

④ [eqn: 14]	⑤ [eqn: 16]

곡선 [eqn: f(x)=-x^3 +1] 위의 점 [eqn: (-1,```2)]에서의 접선의 기울기는? [3.7점]

①

① [eqn: -3]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 4]

[eqn: lim_x->2 f(x)overx-2 =3]일 때, [eqn: lim_x->0 f(x+2)over{x^2 +2x]의 값은? [4.2점]

④

① [eqn: 0]	② [eqn: 1over2]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: 3over2]	⑤ [eqn: 2]

다항식 [eqn: 2x^8 -x^4 +3x^2 -1]을 [eqn: (x-1)^2]으로 나누었을 때의 나머지를 [eqn: f(x)]라고 할 때, [eqn: f(1)]의 값은? [4.4점]

④

① [eqn: -3]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: 3]	⑤ [eqn: 5]

수열 [eqn: left{a_n right]의 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합을 [eqn: S_n]이라고 하자.
[eqn: S_n = 5n+5over2n+5]일 때, [eqn: lim _{n -> INF } {} {2a _{n} +3S _{n}} over {3a _{n} +4S _{n-1}}]의 값은? [4.6점]

③

① [eqn: 1over2]	② [eqn: 2over3]	③ [eqn: 3over4]

④ [eqn: 5over7]	⑤ [eqn: 5over2]

급수 [eqn: sum_n=1 ^inf (x^2 +2x)^n]이 수렴하도록 하는 정수 [eqn: x]의 개수는? [4.8점]

①

① [eqn: 2]	② [eqn: 3]	③ [eqn: 4]

④ [eqn: 5]	⑤ [eqn: 6]

[eqn: lim_x->-inf {root{x^2 +1} -x}over-3x+2]의 값은? [4.8점]

⑤

① [eqn: - 2over3]	② [eqn: - 1over3]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 1over3]	⑤ [eqn: 2over3]

다음 함수 중에서 열린구간 [eqn: (-2,```2)]에서 연속인 함수를 보기에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? [4.8점]

②

ㄱ. [eqn: f(x)=x |x-1|overx-1]

ㄴ. [eqn: g(x)=-2 |x |+1]

ㄷ. [eqn: h(x)=cases{x(x-2)over |x|&(x!=0)#```````````````0&(x=0)]

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

수열 [eqn: left{root{36^n +(2a)^n} -6^n right]이 수렴하도록 하는 자연수 [eqn: a]의 개수는? [4.9점]

②

① [eqn: 2]	② [eqn: 3]	③ [eqn: 5]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 18]

곡선 [eqn: y=root2x-4]와 직선 [eqn: y=4]와의 교점을 [eqn: RMA]라 하자. 곡선 [eqn: y=root2x-4] 위를 움직이는 점 [eqn: RMP]에서 [eqn: x]축에 내린 수선 또는 수선의 연장선 위에 점 [eqn: RMA]에서 내린 수선의 발을 [eqn: RMQ]라 하자. 점 [eqn: RMP]가 점 [eqn: RMA]에 한없이 가까워질 때, [eqn: rm barPQ overbarAQ]의 극한값은? [4.9점]

①

① [eqn: 1over4]	② [eqn: root2 over4]	③ [eqn: 1over2]

④ [eqn: root2 over2]	⑤ [eqn: 1]

그림과 같이 [eqn: RM bar{A_1 B_1 }=1], [eqn: RM bar{A_1 D_1}=2]인 직사각형 [eqn: RMA_1 B_1 C_1 D_1]에 대하여 선분 [eqn: RMA_1 RMD_1]의 중점을 [eqn: RMM]이라 하자. 선분 [eqn: RMA_1 RMD_1]을 지름으로 하는 반원과 선분 [eqn: RMA_1 M]과 선분 [eqn: RMMD_1]을 각각 지름으로 하는 두 반원을 그려서 얻은 모양의 도형의 넓이를 [eqn: S_1]이라 하자. 선분 [eqn: RMMB_1]과 선분 [eqn: RMMC_!]이 선분 [eqn: RMA_1 D_1]을 지름으로 하는 반원과 만나는 점을 가각 [eqn: RMB_2], [eqn: RMC_2]라 하고, 점 [eqn: RMB_2]와 점 [eqn: RMC_2]에서 선분 [eqn: RMA_1 D_1]에 내린 수선의 발을 각각 [eqn: RMA_2], [eqn: RMD_2]라 하자. 선분 [eqn: RMA_2 D_2]를 지름으로 하는 반원과 선분 [eqn: RMA_2 M]과 선분 [eqn: RMMD_2]를 각각 지름으로 하는 두 반원을 그려서 새로 얻은 모양의 넓이를 [eqn: S_2]라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: n]번째 얻은 모양의 도형의 넓이를 [eqn: S_n]이라 할 때, [eqn: sum_n=1 ^inf S_n]의 값은? [5.3점]

③

① [eqn: pi]	② [eqn: 5over4 pi]	③ [eqn: 3over2 pi]

④ [eqn: 2pi]	⑤ [eqn: 5over2 pi]

두 함수 [eqn: f(x)], [eqn: g(x)]의 그래프가 다음 그림과 같을 때, 옳은 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은? [5.4점]

②

ㄱ. [eqn: lim_x->1+ f(g(x))=-1]

ㄴ. [eqn: lim_x->-1- g(f(x))=-1]

ㄷ. [eqn: lim_x->1+ f(g(x-2))=1]

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

그림과 같이 크기가 [eqn: 60 DEG]인 [eqn: ANGLERMAOB]의 이등분선 위에 [eqn: RM bar{OC_1}=4]인 점 [eqn: rmC_1]을 잡아 점 [eqn: rmC_1]을 중심으로 하고 반직선 [eqn: RMOA], [eqn: RMOB]에 접하는 원 [eqn: C_1]을 그릴 때, 원 [eqn: C_1]과 반직선 [eqn: RMOA], [eqn: RMOB]와의 접점을 각각 [eqn: RMP_1], [eqn: RMQ_1]이라 하자. 점 [eqn: RMC_1]을 지나고 반직선 [eqn: RMOA]와 [eqn: RMOB]에 접하는 두 원 중에서 큰 원의 중심을 [eqn: RMC_2], 원 [eqn: C_2]와 반직선 [eqn: RMOA], [eqn: RMOB]와의 접점을 각각 [eqn: RMP_2], [eqn: RMQ_2]라 하고, 원 [eqn: C_1]과 원 [eqn: C_2]가 만나는 점을 각각 [eqn: RMA_1], [eqn: RMB_1]이라 할 때, 사각형 [eqn: RMA_1 C_1 B_1 C_2]의 넓이를 [eqn: S_1]이라 하자. 점 [eqn: RMC_2]를 지나고 반직선 [eqn: RMOA], [eqn: RMOB]에 접하는 두 원 중에서 큰 원의 중심을 [eqn: RMC_3], 원 [eqn: C_3]과 반직선 [eqn: RMOA], [eqn: RMOB]와의 접선을 각각 [eqn: RMP_3], [eqn: RMQ_3]이라 하고, 원 [eqn: C_2]와 원 [eqn: C_3]이 만나는 점을 각각 [eqn: RMA_2], [eqn: RMB_2]라 할 때, 사각형 [eqn: RMA_2 C_2 B_2 C_3]의 넓이를 [eqn: S_2]라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: n]번째 얻은 도형의 넓이를 [eqn: S_n]이라 할 때,
[eqn: lim_n->inf S_n over{2^2n+1 +3^n]의 값은? [5.4점]

①

① [eqn: root15 over4]	② [eqn: root15 over2]	③ [eqn: root15]

④ [eqn: root3 over4]	⑤ [eqn: root3 over2]

모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f(x+2) =f(x)]인 함수 [eqn: f(x)]가
[eqn: f(x)=-2 left|x- 1over2 right| +1left( - 1over2 le x le 3over2 right)]
이고 함수 [eqn: g(x)=lim_n->inf { left{1+f(x)right}^n -1}over{left{1 +f(x) right}^n +1]이라 하자. 옳은 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은? [5.6점]

⑤

ㄱ. [eqn: lim_x->5 f(g(x))=0]

ㄴ. [eqn: g(root5 )+g(-2) =1]

ㄷ. 함수 [eqn: g(x) overf(x)]는 [eqn: x = 7over2]에서 연속이다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

서술형

함수
[eqn: g(x)= {cases{{x ^{2} -ax} over {|x-a|}&```(x != a)#`a&```(x=a)}}]
에 대하여 함수
[eqn: h(x)=(x-1)g(x)]
가 실수 전체의 집합에서 연속이다. 삼차방정식 [eqn: x^3 +x-a=0]은 열린구간 [eqn: (0,```1)]에서 적어도 하나의 실근을 가짐을 보이시오. (단, [eqn: a!=0]) [12.0점]

양수 [eqn: a]에 대하여 수열 [eqn: left{{a^n +3^n-1}over{a^n-1 +2^n} right}]의 수렴과 발산을 조사하고 그 과정을 자세히 서술하시오. [10.0점]

도함수의 정의를 이용하여 함수 [eqn: f(x)=x^n]([eqn: n]은 양의 정수)의 도함수를 구하고 그 과정을 자세히 서술하시오. [8.0점]

[2017년 저동고]

[2학년 1학기 중간 미적분1]

오타, 오류, 문의사항 : hansungeun@gmail.com